Brownsche Bewegung Forex

MetaTrader Expert Advisor Dekalog Blog ist ein interessanter Ort, wo der Autor, Dekalog, versucht, neue und einzigartige Möglichkeiten zur quantitativen Analyse auf den Handel zu entwickeln. In einem kürzlich erschienenen Beitrag diskutierte er mit dem Konzept der Brown'schen Bewegung auf eine Weise, die Bands um einen Schlusskurs schließen würde. Diese Bänder würden nicht-trending-Perioden darstellen, und ein Trader könnte jederzeit erkennen, dass der Preis außerhalb der Bands als Trendperiode lag. Dekalog8217s Methode der Verwendung von Brownian Motion schafft oberen und unteren Bands, die Trending-Bedingungen zu definieren. An der Wurzel der meisten jeden Trend nach Trading-System ist eine Möglichkeit, eine Trends Existenz zu definieren und bestimmen ihre Richtung. Mit Dekalog8217s Brownian Motion Idee als Wurzel eines Systems könnte eine einzigartige Möglichkeit, Trends zu identifizieren und Gewinne aus den Märkten durch diese Trends zu extrahieren. Hier ist, wie Dekalog sein Konzept erklärt: Die Grundvoraussetzung, genommen von der Brownian Bewegung, ist, daß das natürliche Protokoll der Preisänderungen, im Durchschnitt, mit einer Rate proportional zur Quadratwurzel der Zeit. Nehmen wir zum Beispiel eine Zeitspanne von 5, die bis zum 8220current bar.8221 führt. Wenn wir einen fünfperiodischen einfachen gleitenden Durchschnitt der absoluten Differenzen des Logarithmus der Preise über diesen Zeitraum nehmen, erhalten wir einen Wert für die durchschnittliche 1-Bar-Preisbewegung Über diesen Zeitraum. Dieser Wert wird dann mit der Quadratwurzel von 5 multipliziert und addiert und subtrahiert von dem Preis vor 5 Tagen, um eine obere und untere Schranke für die aktuelle Balken zu erhalten. Dann wendet er diese obere und untere Schranke auf das Diagramm an: Wenn der aktuelle Balken zwischen den Schranken liegt, sagen wir, dass die Kursbewegung über die letzten fünf Perioden mit der Brownschen Bewegung übereinstimmt und eine Abwesenheit von Trend, d. H. Einen Seitwärtsmarkt, deklariert. Wenn der aktuelle Balken außerhalb der Grenzen liegt, erklären wir, dass die Kursbewegung über die letzten 5 Balken nicht mit der Brownschen Bewegung übereinstimmt und dass ein Trend in Kraft ist, entweder aufwärts oder abwärts, je nachdem, welcher Bound der aktuelle Balken jenseits ist. Dekalog glaubt auch, dass dieses Konzept über einen bloßen Indikator hinausgehen könnte: Man kann sich in der Indikatorentstehung viele Anwendungsmöglichkeiten vorstellen, aber ich beabsichtige, die Grenzen zu verwenden, um eine Punktzahl von Preis-Zufallsstrategien über verschiedene kombinierte Perioden zuzuweisen, um Preis zuzuordnen Bewegung in Bins für die anschließende Monte-Carlo-Schaffung von synthetischen Preisreihen. Grundlegende Theorie Geometrische Brownsche Bewegung und andere stochastische Prozesse, die von ihr konstruiert werden, werden häufig verwendet, um das Bevölkerungswachstum, finanzielle Prozesse (wie den Preis einer Aktie im Laufe der Zeit) zu modellieren Zu zufälligem Rauschen. Definition Nehmen wir an, dass (bs) eine standardmäßige Brownsche Bewegung ist und dass (mu in R) und (sigma in (0, infty)). Der stochastische Prozeß (bs) ist eine geometrische Brownsche Bewegung mit Driftparameter (mu) und Volatilitätsparameter (Sigma). Es sei Xt exatroft (mu - frac rechts) t sigma Ztright, quad t in 0, infty) (Sigma2 2) und Skalierungsparameter (Sigma), so dass die geometrische Brownsche Bewegung einfach der exponentielle Aspekt dieses Prozesses ist. Insbesondere ist der Prozess immer positiv, einer der Gründe, dass geometrische Brown'sche Bewegung verwendet wird, um finanzielle und andere Prozesse, die nicht negativ sein können, zu modellieren. Beachten Sie auch, dass (X0 1), so dass der Prozess beginnt bei 1, aber wir können dies leicht ändern. Für (x0 in (0, infty)) ist der Prozess () eine geometrische Brownsche Bewegung, beginnend bei (x0). Sie können sich über die jeweilige Kombination von Parametern (mu - sigma2 2) in der Definition wundern. Die kurze Antwort auf die Frage ist in folgendem Satz dargestellt: Die geometrische Brownsche Bewegung (bs) erfüllt die stochastische Differentialgleichung d, Xt mu Xt, dt sigma Xt, dZt Beachten Sie, dass der deterministische Teil dieser Gleichung die Standarddifferenzialgleichung für exponentiell ist Wachstum oder Zerfall, mit Rate-Parameter (mu). Führen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung mehrmals im Einzelschrittmodus für verschiedene Werte der Parameter aus. Beachten Sie das Verhalten des Prozesses. Die Verteilungen (f) steigen und fallen dann mit (x expleftleft (mu - frac sigma2right) tright) nach oben, dann nach unten, dann nach oben mit Wendepunkten bei (x expleft (mu - sigma2) t pm frac) (Sigma sqrt rechts) Beweis: Da die Variable (Ut left (mu - sigma2 2right) t sigma Zt) die Normalverteilung mit Mittelwert ((mu - sigma22) t) und Standardabweichung (Sigma sqrt) hat, folgt (Xt exp (Ut)) die logarithmische Verteilung mit diesen Parametern hat. Diese Ergebnisse für die PDF folgen dann direkt aus den entsprechenden Ergebnissen für die lognormal PDF. Insbesondere ist die geometrische Brownsche Bewegung kein Gaußscher Prozeß. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Variieren Sie die Parameter und beachten Sie die Form der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (Xt). Führen Sie für verschiedene Werte der Parameter die Simulation 1000 mal aus und vergleichen Sie die empirische Dichtefunktion mit der wahren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Für (t in (0, infty)) ist die Verteilungsfunktion (Ft) von (Xt) gegeben durch Ft (x) Phileftfrac rechts, quad x in (0, infty) wobei (Phi) die normale Normalverteilungsfunktion ist. Dies folgt wiederum direkt aus dem CDF der lognormalen Verteilung. Für (t in (0, infty)) ist die Quantilfunktion (Ft) von (Xt) gegeben durch Ft (p) expleft (mu - sigma2 2) t sigma sqrt Phi (p) 1) wobei (Phi) die normale Standard-Quantilfunktion ist. Dies folgt direkt aus der logarithmischen Quantilfunktion. Für (n in N) und (t in 0, infty), (Eleft (Xtnright) e) Dies folgt aus der Formel für die Momente der lognormalen Verteilung. Für (t in 0, infty) ist insbesondere zu beachten, daß die mittlere Funktion (m (t) E (Xt) e) für (t in 0, infty) den deterministischen Teil der obigen stochastischen Differentialgleichung erfüllt. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Der Graph der mittleren Funktion (m) wird als blaue Kurve in der Hauptgrafik dargestellt. Führen Sie für verschiedene Werte der Parameter die Simulation 1000 mal aus und beachten Sie das Verhalten des Zufallsprozesses in Bezug auf die Mittelfunktion. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Variieren Sie die Parameter und beachten Sie die Größe und Position der mittleren (PM) Standardabweichung bar für (Xt). Führen Sie für verschiedene Werte des Parameters die Simulation 1000 mal durch und vergleichen Sie das empirische Mittel und die Standardabweichung mit der wahren Mittelwert - und Standardabweichung. Eigenschaften Der Parameter (mu - sigma2 2) bestimmt das asymptotische Verhalten der geometrischen Brownschen Bewegung. Wenn (mu gt sigma2 2) dann (Xt bis infty) als (t bis infty) mit der Wahrscheinlichkeit 1 gilt. Ist (mu lt sigma2 2) dann (Xt bis 0) als (t bis infty) mit der Wahrscheinlichkeit 1. Wenn (mu sigma2 2), dann hat (Xt) keine Begrenzung als (t bis infty) mit Wahrscheinlichkeit 1. Beweis: Diese Ergebnisse folgen aus dem Gesetz des iterativen Logarithmus. Asymptotisch dominiert der Term (left (mu - sigma2 2right) t) den Term (sigma Zt) als (t bis infty). Wenn der Driftparameter 0 ist, ist die geometrische Brownsche Bewegung ein Martingal. Wenn (mu 0) die geometrische Brownsche Bewegung (bs) ein Martingal in Bezug auf die darunterliegende Brownsche Bewegung (bs) ist. Beweis aus stochastischen Integralen Dies ist der einfachste Beweis. Wenn (mu 0), (bs) die stochastische Differentialgleichung (d, Xt sigma Xt, dZt) und damit Xt erfüllt ist. Der Prozess, der mit einem stochastischen Integral assoziiert ist, ist immer ein Martingal, wobei die üblichen Annahmen über den Integrandprozess angenommen werden (die hier erfüllt sind). Sei (mathscr t sigma) für (t in 0, infty)), so daß (mathfrak t: t in 0, infty)) die natürliche Filtration ist, die mit (bs) assoziiert ist. Es sei (s, t in 0, infty)) mit (s le t). Wir verwenden unseren üblichen Trick des Schreibens (Zt Zs (Zt - Zs)), um die stationären und unabhängigen Inkrementeigenschaften von Brown'schen Bewegungen zu nutzen. Somit ist Xt expleft-frac t sigma Zs sigma (Zt - Zs) rechts Da (Zs) in bezug auf (mathscr s) messbar ist und (Zt - Zs) unabhängig von (mathscr s) ist, haben wir Eleft (Xt mid mathscr sright (Zt - Zs) rechts Aber (Zt - Zs) hat die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz (t - s), also aus der Formel für die momentane Generatorfunktion der Normalverteilung , So erhält man Eleftigma (Zt - Zs) rechts expleftfrac (t - s) rechts Substitution gibt Eleft (Xt mid mathscr sright) expleft (-frac s sigma Zsright) Xs